Atribuindo um valor ao infinito

É nisso que dá mexer com o infinito.

Você poderia pensar que, se simplesmente começasse a somar os números naturais —1 mais 2, mais 3 e assim por diante, até o infinito—, acabaria com um número bastante grande.

Mas, num recente vídeo, uma dupla de físicos se dispõe a provar que essa série, na verdade, tem como resultado... menos 1/12.

Cerca de 1,5 milhão de pessoas já viram esse cálculo, que desempenha um papel crucial na teoria quântica. A resposta já foi verificada até muitas casas decimais em experiências de laboratório. Eu mesmo, depois de assistir ao vídeo, fui conferir se ainda estava com a minha carteira e meu relógio.

Até mesmo os realizadores do vídeo, o jornalista Brady Haran e os físicos Ed Copeland e Antonio Padilla, da Universidade de Nottingham, na Inglaterra, admitem que há uma dose de "truque" na sua apresentação.

Mas existe um amplo consenso de que uma abordagem mais rigorosa do problema dá o mesmo resultado, conforme demonstra uma fórmula em "String Theory" [Teoria das cordas], livro-texto em dois volumes de autoria de Joseph Polchinski.

"Este cálculo é um dos segredos mais bem guardados na matemática", disse Edward Frenkel, professor de matemática e autor de "Love and Math: The Heart of Hidden Reality" [Amor e matemática: o coração da realidade oculta].

O grande matemático Leonhard Euler, do século 18, foi o primeiro a trilhar esse caminho. Euler queria saber se seria possível encontrar uma resposta para as somas infinitas de números como 1 mais 1/2 mais 1/3 mais 1/4, até o infinito, ou os quadrados dessas frações. São todas versões diferentes daquela que se tornou conhecida como função zeta de Riemann, em homenagem a Bernhard Riemann, que apareceu cerca de um século depois de Euler. A função zeta é um dos assuntos mais misteriosos e celebrados da matemática, importante na teoria dos números primos, entre outras coisas. Foi uma das tramas, por exemplo, do romance "Contra o Dia" (2006), de Thomas Pynchon.

O método no vídeo não envolve nada mais complicado do que adição e subtração e um pouco de álgebra que um aluno de sexto ano tiraria de letra.

Como explicou Frenkel, a parte essencial dos cálculos pode ser interpretada dizendo que a soma infinita se compõe de três partes separadas: uma que dispara quando você vai ao infinito, uma que vai até zero e o menos 1/12. O termo infinito, disse ele, simplesmente é jogado fora. E funciona.

O processo conhecido como regularização, parte de muitos cálculos na teoria quântica, é semelhante, chegando a um número real que corresponde à quantidade que os físicos querem saber e a um termo infinito, que é desprezado. O processo funciona tão bem que previsões teóricas na eletrodinâmica quântica concordam com as experiências numa precisão de uma parte em 1 trilhão.

Isso é notável, levando-se em conta que as quantidades infinitas foram desprezadas, ou "varridas para baixo do tapete", nas palavras do físico Richard Feynman, do Instituto de Tecnologia da Califórnia.

Da mesma forma, não surpreende que o fator 1/12 apareça bastante nas equações da teoria das cordas, segundo Frenkel. Ainda é um mistério por que tudo isso funciona.

Por que conceitos tão enrolados e abstratos como as funções zeta ou os números imaginários, que são em nossas mentes os produtos de um jogo de xadrez, têm tanta relevância para descrever o mundo?

As explorações de Riemann acerca da geometria dos espaços curvos, em 1854, lançaram os fundamentos para a teoria da gravidade de Einstein, a relatividade geral, meio século depois.

Hoje os matemáticos concordam que há um número infinito de números naturais (1, 2, 3 e assim por diante) no escalão inferior do infinito. Acima disso, no entanto, há outro escalão dos chamados números reais, que é maior, no sentido de que há um número incontável deles para cada número natural. E assim sucessivamente.

Os cosmólogos não sabem se o universo é fisicamente infinito no espaço ou no tempo, ou o que significa ele ser ou não. Ou mesmo se essas perguntas fazem sentido. Eles não sabem se algum dia vão descobrir que ordens maiores do infinito são desarrazoadamente efetivas para a compreensão da existência, seja lá o que isso for.